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しかし, どんな手法でも無理数 \( \sqrt{1.2} \) の正確な値を表現することは叶わないので, 数値の読みを何処かで打ち切るということが必ず生じることになる.したがって, 下記の公式のうちの灰色の部分は \( 0 \) に置き換えることになる. f^{\prime \prime \prime}(0) \\ \end{aligned} \] が成立する. 近似の言い換えや別の言い方。・意義素類語本来別々のものが互いによく似ていること似たり寄ったり ・ 類似 ・ 酷似 ・ 相似 ・ 近似 ・ 似寄り \[ \definecolor{gray}{RGB}{229,229,229} \begin{aligned} (1+x)^n &\approx 1 + nx + \frac{n\left( n-1 \right)}{2} x^{2} {\color{gray}+ \frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6} x^{3} + \frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3\right)}{24} x^{4} + \cdots } \\ \sin{x} &\approx x {\color{gray} \,- \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \cdots } \\ \cos{x} &\approx 1 – \frac{x^2}{2} {\color{gray} \, + \frac{x^4}{24} – \cdots } \\ \tan{x} &\approx x {\color{gray} \,+ \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots } \\ e^x &\approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2 {\color{gray} \,+ \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 +\cdots } \\ \log_{e}{\left( 1+ x \right)} &\approx x – \frac{1}{2}x^2 {\color{gray} \,+ \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{4}x^4 +\cdots } \end{aligned} \]例えば2次関数 \( f(x) \) は一般的に, \[ f(x) = a x^2 + b x + c \notag \] と書くことができる. 0 \cdot x^{2} + \frac{1}{3!}
0 \cdot x^{4} + \cdots \\ &= x – \frac{x^3}{3!} f^{(2)}(0)x^{2} + \frac{1}{3!} \[ \begin{aligned} f(0) &= e^{0} = 1 \\ f^{\prime}(0) &= e^{0} = 1 \\ f^{\prime \prime}(0) &= e^{0} = 1 \\ \cdots \ &= \ \cdots \end{aligned} \] より, \( x \approx 0 \) 付近で \( e^x \) は, \[ e^x = 1 + x + \frac{1}{2!
f^{(2)}(0)x^{2} + \cdots}_{無視できる} \\ &= 1 + \frac{1}{1!} 「測定値が \( \sqrt{1.2} \)になりました」という報告をするためには, 小数点以下を永遠と測定しなくてはならないが, 単純に考えて無理である.この物体の測定に一般的な定規をつかえば \( \mathrm{mm} \) までが関の山だし, そこいらの工具を使ってもせいぜい \( \mathrm{\mu m} = 10^{-3} \ \mathrm{mm} \) 程度しか測れないというのが一般的だ.\( L ≫ a \) とする. }f^{\prime}(0) \,x + \frac{1}{2! よく使う一次近似の公式（不等式）一覧. }f^{(k)}(0) x^k+ \cdots \end{aligned} \] が成立することが類推できるし, 実際に成立する.マクローリン展開によって, ある関数はその導関数と \( x \) のベキ乗によって表すことができることを学んだ.「近似とは何か？」については後で述べるとして, 「どうして近似をしてもいいのか？」というところから掘り下げて考えてみよう.もちろん, 必要に迫られればより厳密度の高い計算を行う必要性が生じるが, それはより精度の高い近似を行うことに落ち着く場合がほとんどである.ここで, \( \displaystyle{\frac{1}{100}} \) が \( 1 \) に対して無視できる状況(実験)ならば, \[ \begin{aligned} L &= 1 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{1}{10} + \underbrace{ 1 \cdot \frac{1}{100} + 4 \cdot \frac{1}{1000} + \cdots}_{\mbox{$0$とみなす} } \ \mathrm{cm} \\ &\approx 1.4 \ \mathrm{cm} \end{aligned} \] であるし, \( \displaystyle{\frac{1}{10000}} \) が \( 1 \) に対して無視できる状況(実験)ならば, \[ \begin{aligned} L &= 1 \cdot 1 + 4 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{1}{100} + 4 \cdot \frac{1}{1000} + \underbrace{ 2 \cdot \frac{1}{10000} + \cdots}_{\mbox{$0$とみなす} } \ \mathrm{cm} \\ &\approx 1.414 \ \mathrm{cm} \end{aligned} \] という観測結果になるのである.ちなみに, \( f(x) = \sin{x} \) は \( f(-x) =- f(x) \) を満たす奇関数であり, マクローリン展開後も \( x \) の奇数乗の多項式なので \( f(-x)=-f(x) \) の奇関数であることは最低限確認しておいてほしい.以下, \( \left| x \right| \ll 1 \) であるとする. 近似（きんじ、英: approximation ）とは、数学や物理学において、複雑な対象の解析を容易にするため、細部を無視して、対象を単純化する行為、またはその方法。 近似された対象のより単純な像は、近似モデルと呼ばれる。 単純化は解析の有効性を失わない範囲内で行われなければならない。 近似するのページの著作権 類語辞典 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。 ビジネス ｜ 業界用語 ｜ コンピュータ ｜ 電車 ｜ 自動車・バイク ｜ 船 ｜ 工学 ｜ 建築・不動産 ｜ 学問 \[ \definecolor{gray}{RGB}{229,229,229} \begin{aligned} (1+x)^n &\approx 1 + nx {\color{gray} \,+ \frac{n\left( n-1 \right)}{2} x^{2} + \frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6} x^{3} + \frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3\right)}{24} x^{4} + \cdots } \\ \sin{x} &\approx x {\color{gray} \,- \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \cdots } \\ \cos{x} &\approx 1 {\color{gray} \,- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} – \cdots } \\ \tan{x} &\approx x {\color{gray} \,+ \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots } \\ e^x &\approx 1 + x {\color{gray} \,+ \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 +\cdots } \\ \log_{e}{\left( 1+ x \right)} &\approx x {\color{gray} \,- \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{4}x^4 +\cdots } \end{aligned} \]関数 \( f(x)=\sin{x} \) の \( x\approx 0 \) 付近でのマクローリン展開のために必要な計算を行っておくと, \[ \begin{aligned} f(0) &= \sin{0} = 0 \\ f^{\prime}(0) &= \cos{0} = 1 \\ f^{\prime \prime}(0) &=-\sin{0} = 0 \\ f^{\prime \prime \prime}(0) &=-\cos{0} =-1 \\ \cdots \ &= \ \cdots \end{aligned} \] となり, \[ \begin{aligned} f(x) &= f(0) + \frac{1}{1!} 近似公式(発展) 実は, 近似公式というのは ある量 \( x \) の何乗が \( 1 \) に対して無視できる状況なのか によって使う式が変わってくるのである. n\left( n-1 \right)x^{2} + \cdots}_{無視できる} \\ f(x) &\approx 1 + nx \end{aligned} \] \[ \therefore \left( 1 + x \right)^n \approx 1 + nx \notag \] となる.指数関数 \( f(x) = e^{x} \) についても, マクローリン展開を考えることができる.