【問題】東大入試「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」ゆとり「うーん」→,思考をハックする知識と知恵をお届けする2ちゃんねるまとめブログです。考えさせられるスレッドやニュースなどを2ch,ニュース速報VIPから紹介しています。 定番の手法で知っている人も多いでしょう。「円周の長さよりも内接する正多角形の周の長さのほうが短い」ことを利用します。なお，試験上では計算機が使えないのでルートの大雑把な評価が求められます。この解法では，42−2>3.05 を示せばOK。これは，2<2−3.05242 と同値であり右辺を計算すれば 1.418…となるので（2 の近似値が 1.414 なので）確かに成立しています。以下，計算機が使えない状況では全ての解法でこのような評価が必要になりますが，計算機を使った値のみを記し，ルートの評 … 円周率は3（えんしゅうりつは3）は、「2002年度実施の小学校 学習指導要領の改訂にともなって、日本の算数教育にてそれまで3.14と教えていた円周率を3 と教えることになった」という内容が世間に広まった事象である。 実際にはこれは事実ではなく、改訂後も円周率は3.14で教えている。 東大の入試問題「円周率が3.05より大きいことを示せ」には、あと少しだけ足りないね… あとたったの$$0.05$$だけ足りない… 今は正六角形を利用したが、正十二角形を利用して、数2で習う「三角関数」と組み合わせれば、同じ考え方で円周率が3.05より大きいことが証明できるんだ。 三角関数は2 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。 （東京大・2003） 東大の入試問題の中でも10本の指に入る有名な問題（※1）である。当時の「ゆとり教育では円周率は3だと教える」という風評（※2）も相まって世間に広まった。 2世紀には、張衡という人が、円周率として$$\sqrt{10}=3.162$$を利用するのがよいと言ったり、13世紀には、フィボナッチという数学者が、円周率は$$\displaystyle \frac{864}{275}=3.1418\ldots$$位だと計算している。そうそう。円周率は既約分数で表せない、無限に続く循環しない小数、つまり無理数であることが証明されている。今は半径が1なので、$$r=1$$を代入して、$$2\pi$$だよね〜！紀元前2000年頃。古代バビロニアの時代には、円周率として$$3$$や$$\displaystyle 3\frac{1}{7}=3.142857$$などの値が使われていたと言われている。今は正六角形を利用したが、正十二角形を利用して、数2で習う「三角関数」と組み合わせれば、同じ考え方で円周率が3.05より大きいことが証明できるんだ。よく覚えてるね！$$\sqrt{2},\sqrt{3}$$などは確かに無理数だ。ぽんさん、これだけだったら、$$\pi$$がどれ位大きいか、わからなくない？馬鹿げたことを聞くかもしれないが、六角形の外周と、円周と、どちらが長いかな？紀元前3世紀には、有名なアルキメデスという人が、円周率は、$$3.14084$$から$$3.14286$$の間の値であることを証明した。えっと、円周の長さは、半径を$$r$$とすると$$2\pi r$$！三角関数は2年生ぐらいで習うから、はるかが今頃学んでるんじゃないか？$$2$$や$$5$$のような自然数や、$$\displaystyle \frac{3}{4}$$などの分数が有理数だったよね！！無理数はそれ以外の数！大学の入試問題で出題されるぐらいだから、高校で学ぶ数学の知識で、ある程度の円周率は求めることができる。円周率で忘れてはいけないのは、オランダの数学者である「ルドルフ」だ！彼は人生の多くの時間を円周率の計算に費やし、なんと円周率を19桁まで正確に計算することに成功した。当時としては素晴らしい偉業だった。彼の栄誉をたたえ、オランダでは円周率のことを「ルドルフ数」とも呼んでいるらしい。外周が円周より大きいことを利用して、不等式を作ればいいんだよねー！昔から、この円周率がどのような値になるのかを求めるために、多くの数学者が計算に人生を費やしているんだ。 ・円周率が3.05より大きいことを証明する問題 「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」 これは2003年（2002年度）の東大理系数学の第6問として実際に出題された問題です。 円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ。 →円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明 これまた東大の入試問題の中でも1，2を争う超有名問題です。 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。 （東京大・2003） 東大の入試問題の中でも10本の指に入る有名な問題（※1）である。当時の「ゆとり教育では円周率は3だと教える」という風評（※2）も相まって世間に広まった。 さて、東大入試はまさしくこれらの方法でπを求めなさいという趣旨でしょう。まず正六角形ならば、周の長さは半径の6倍。円周率は「3より大」と求められますが、東大の要求は「3.05より大」を示すことですから、惜しい！ 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。「π＞3.05を証明せよ」と書けば、たった11文字。この伝説ともなっている東京大学の入試問題をプログラミングで解いていただくのが今回のテーマです。 (3/5) 円周率はほぼ3.14である 北海道大学 中村 郁 1 問題と目標 今年の東京大学の入試問題に，次のような問題が 出題された： 問題 円周率πは3.05より大きいことを証明せよ． 採点の労をいとわず，こういう試験 … 任意の正の実数 $x,y$ に対して $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}$ が成立するような実数 $k$ の最小値を求めよ。問題と解説は長くなるので省略していますが，知っていれば過去の東大の問題が一発で解けるor相当有利になるような背景知識です。（1）一般角 $\theta$ に対して $\sin\theta,\:\cos\theta$ の定義を述べよ。© 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved.なお，（2）は「（1）で述べた定義に基づき $\sin$ と $\cos$ の加法定理を証明せよ」という問題です。東大で三角関数の定義が問われたということで世間に衝撃を与えました。このように，入試問題の背景には有名な数学的事実，大定理が潜んでいる場合が少なくありません。三角形 $ABC$ の各辺 $BC,CA,AB$ 上にそれぞれ $L,M,N$ を，$\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{CM}{MA}=\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{1}{2}$ となるように取る。 $AL$ と $CN$ の交点を $P$，$AL$ と $BM$ の交点を $Q$，$BM$ と $CN$ の交点を $R$ とするとき三角形 $PQR$ と三角形 $ABC$ の面積比を求めよ。$\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\sin^2xdx > 8$ を示せ。ただし，$\pi=3.14\cdots$，$e=2.71\cdots$ である。放物線 $y=\dfrac{3}{4}-x^2$ を $y$ 軸の回りに回転させて得られる曲面 $K$ を原点を通り回転軸と $45^{\circ}$ の角をなす平面 $H$ で切る。曲面 $K$ と平面 $H$ で囲まれた部分の体積を求めよ。$f(x)=\pi x^2\sin \pi x^2$ とする。 $y=f(x)$ のグラフの $0\leq x\leq 1$ の部分と $x$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させてできる図形の体積 $V$ は $V=2\pi\int_0^{1}xf(x)dx$ で与えられることを示し，この値を求めよ。
東大入試問題「円周率 > 3.05 を証明」の解法 (2) : 中学生レベルで 「円周率が 3.05 より大きいことを証明せよ」 引き続き、この解答へ向けて受験生でもない自分が思いついた事を書いています。 円周率は3（えんしゅうりつは3）は、「2002年度実施の小学校 学習指導要領の改訂にともなって、日本の算数教育にてそれまで3.14と教えていた円周率を3 と教えることになった」という内容が世間に広まった事象である。 実際にはこれは事実ではなく、改訂後も円周率は3.14で教えている。 この問題で言えば、円周率が3.14159… であることは今や誰もが知っていますが、「なぜ円周率が3.14159…なのか」について考えたことがある人はどれだけいるでしょうか？解説を始める前に、”なぜ今問題が有名になったか”について触れて見たいと思います。さて、ここまで東大の入試問題を解いてきましたが、注意したいことがあります。それは…何か質問だったり、訂正ポイントがあったりしたらコメントにてお願いします！これがわかると、うまく線を引くことができれば長さを求めることができます！さて、中学生はこんな感じで解くよ！ということは示すことができましたが、逆に大学生はどうしたらいいでしょう？では、適当に値をとってしまえばいいと思いますが、そこで問題が１つスライドがかなり多くなってしまったのと、やはり直接教えるのではなくテキストとスライドでものを伝えようとするのは難しいのかな..?コロナウイルスが蔓延するこんな状況下で、非常におすすめなのが「スタディサプリ」です。つまり、直径が3とか12とかに決まれば、円周も “直径3の円の円周” とか、”直径12の円の円周” のように決まった値になります。また、直径が2倍、3倍になると、直径も2倍、3倍になるのもわかりますか？上の例では、円周と正○角形を比較しましたが、要するに円周より短い長さがわかればいいのです。この問題は2003年の問題の中では比較的簡単だったみたいですし、もし仮に試験会場でこの問題を見てすぐに解答できるかどうかということはまた別の話です！このことは、当時、世間では “子供の学力低下” につながるとして相当問題になりました。「円周率は3ではない」と嘆くドラマまであったとか。ここから、最も重要な数学定数と言われていて、数学者の中には「円周率マニア」も結構いるそうです。入試問題において、伝説になっていると言ってもいい問題はいくつかありますが、その中でも群を抜いて有名だと言われているのが2003年に東京大学の数学の入試問題で出題されたこれでしょう。円は、”定点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線” として定義されています。もう少し簡単に言えば、だから、「とけた！」と思った問題でも意外と点数をもらえていないという事故が起きるのです。オンライン学習だからできる、史上最強の講師とレベルの高い学びを、あなたに。注意して見て欲しいのは、定義の中に出てくる線分が半径だけということ。だから、半径(直径)が決まれば、円の形は決まってしまいます。僕にピタッとハマって、やっぱりこの人の本好きだなぁと思わせてくれた。そんな中、東大はこの「円周率は3.05より大きい」ことを示せという問題を出題したのです。これは、「円周率が3だと思っている生徒は東大にはいらない！」というメッセージの表れかもしれませんね！ちなみに、円周率とは不思議な数字で、無理数かつ超越数で、その小数展開は循環しません。つまり3.1415926535…と延々と続いていくということです。想像がつくかもしれませんが、相当物笑いのタネだったとか…そこで、半径を5にしてみます。(なぜ5かというと…) 円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ。という、東京大学の有名な入試問題をやってみました。この問題自体、極めて簡単です。問題を解くことは然ることながら、なぜ東大の先生はこんな簡単な問題を出したのか？私の意見を添えて記事にしました。